Inhoud
Ons moderne begrip van kardinaliteit komt van het werk van Georg Cantor in de jaren 1890. Sets kunnen drie soorten kardinaal hebben: eindig, telbaar en ontelbaar. Eindige sets kunnen een specifiek nummer toegewezen krijgen, zoals hun kardinaliteit: het aantal items in de set. Zowel telbare als ontelbare sets zijn oneindig. Cantor was de eerste wiskundige die erop wees dat het kenmerk van een oneindige reeks is dat het in een één-op-één correspondentie kan worden geplaatst, met een eigen deelverzameling van zichzelf.
routebeschrijving
-
Geef een specifiek aantal voor een set kardinaliteit als het eindig is. Voor deze sets is kardinaliteit het aantal objecten daarin. Voor oneindigheid is het onmogelijk om een specifiek nummer voor kardinaliteit aan te wijzen - we kunnen slechts één beschrijvend woord gebruiken. Een subset van een set bevat een set met enkele - maar niet alle - van de ingestelde nummers, maar geen enkele die er niet in zit. Een subset van letters in het Portugese alfabet zijn bijvoorbeeld de letters in het woord "banaan". Voor eindige sets zijn de juiste subsets kleiner dan de set. Dat geldt niet voor oneindige sets.
-
Begin met een specifiek element van de set en bewaar voor altijd, op een specifieke manier, alle elementen van een set opsommen. Dit is de definitie van accounting voor een oneindige set. Het belangrijkste kenmerk is dat er een algoritme is om alle elementen eeuwig op te sommen. De archetypische telbare oneindige set is die van gehele getallen. Begin met "één" en ga verder met het volgende volgnummer. Je kunt geen kardinaliteitsnummer geven, je zult alleen zeggen dat het eeuwig is. Merk op dat voor elk geheel getal een overeenkomstig even getal is dat twee keer zo groot is. Er zijn zoveel gehele getallen als er even getallen zijn. Er is een één-op-één-overeenkomst tussen de set en een juiste subset van die set.
-
Vergelijk een set met de getallen tussen nul en één, om te zien of het oneindig veel is. Je kunt ze niet beginnen tellen, want er is geen "volgend" getal na een getal tussen nul en één. Cantor gaf een voorbeeld om te helpen bij het intuïtieve begrip van talloze sets: punten en lijnen. Punten zijn niet lang of breed, zelfs als een lijn bestaat uit punten. Als de lijnen een oneindig aantal punten zijn, is de lijnlengte altijd 0 + 0 + 0 enzovoort. De regels moeten een ontelbaar aantal punten hebben.
tips
- De Cantor-test is om te zien of twee sets dezelfde kardinaliteit hebben, als de elementen van de set één voor één kunnen worden vergeleken met de andere.
waarschuwing
- Rekenkunde werkt alleen voor eindige sets. Als N zowel telbaar is als ontelbare oneindig, is N + 1 = 200N = N + N = N.