Inhoud
Een scalenedriehoek met de hoeken op 30, 60 en 90 graden is per definitie een driehoek, omdat een van de hoeken 90 graden heeft, dwz het is een rechte hoek. Zulke driehoeken zijn heel gebruikelijk in trigonometrie-instructies, dus het is interessant om zowel de lengtes van de zijkanten van dit type driehoek te kennen als hoe deze kunnen worden afgeleid.
routebeschrijving
-
Oriënteer de scalenedriehoek zodat de middelgrote kant horizontaal van onderen is en de kleinere kant van rechts. Dan komt de hoek van 30 graden naar links en de hoek van 60 graden naar de bovenkant. Vind de lengte van de hypotenusa met de letter H.
-
Bepaal de lengte van de kortere zijde door H te delen door 2. Bepaal de lengte van de onderkant door H te vermenigvuldigen met √3 / 2. Je kunt ook de lengte van de onderkant vinden door de kortere zijde te vermenigvuldigen met √3, wat makkelijker te onthouden is dan het √3 / 2-nummer.
-
Bepaal H als een van de andere zijden wordt gevonden door de kortere zijde te vermenigvuldigen met 2 of door de gemiddelde lengte te vermenigvuldigen met 2 / √3. Natuurlijk, als je al twee kanten kent, kun je de stelling van Pythagoras gebruiken om de derde te vinden, omdat het een rechthoekige driehoek is.
-
Leid af van waar de vorige nummers als volgt kwamen: plaats twee driehoeken van 30-60-90 graden van dezelfde grootte naast elkaar, met de mediane lengte te tikken in het midden en de kortere zijden vormen een rechte lijn naar de bodem. Merk op dat deze twee driehoeken nu een driehoek vormen met alle hoeken gelijk aan 60 graden. De driehoek is nu gelijkzijdig. Omdat alle hoeken gelijk zijn, zijn de lengtes hetzelfde. Daarom zijn de drie zijden van lengte H. Merk specifiek op dat de onderkant van lengte H is. Omdat de onderkant uit twee kortere kanten bestaat, is de kortere kant van een driehoek van hoeken 30-60-90 H / 2. Volgens de stelling van Pythagoras moet de mediane zijde H√3 / 2 zijn.
tips
- De zijden van een scalenedriehoek met de lengte van hypotenusa in 1 verschijnen vaak in trigonometrische oefeningen. Als u de driehoek binnen een cirkel plaatst, zodat de korte kant de positieve x-as raakt en de hypotenusa van lengte 1 zich uitstrekt van de oorsprong tot de cirkel, heeft het snijpunt in de cirkel een x-coördinaat van 1/2 ey √3 / 2. Dit zijn de sinus en cosinus van 30 graden. Als de driehoek op een zodanige manier wordt gedraaid dat de mediane lengte op de positieve x-as ligt, heeft het snijpunt in de cirkel een x-coördinaat van √3 / 2 en y van 1/2. Er wordt dan gezegd dat de cosinus van 60 graden 1/2 is en de sinus van 60 graden √3 / 2. Door een vergelijkbare redenering zijn de sinus en cosinus van 45 graden beide √2 / 2 = 1 / √2 omdat een driehoek van hoeken 45-45-90 met de hypotenusa zijden heeft in de lengte van 1 / √2. Merk op dat wanneer u van 30 naar 45 naar 60 graden gaat, de cosinus afneemt van √3 / 2 tot √2 / 2 tot √1 / 2 (= 1/2) en de sinus toeneemt van √1 / 2 tot √2 / 2 tot √3 / 2. Dit patroon genereert een interessante mnemonic voor de getallen die worden besproken in stappen een, twee en drie.
waarschuwing
- Verwar de hierboven besproken driehoek niet met een rechte driehoek van zijden 3-4-5, die een eenvoudige zij-aan-zijverhouding heeft maar niet dezelfde hoeken heeft als de driehoek van 30-60-90 graden.