Inhoud
Als je een vierkant zou moeten maken en twee diagonale lijnen zou moeten tekenen, zouden ze elkaar in het midden snijden en vier rechthoekige driehoeken vormen; de twee lijnen snijden elkaar in een hoek van 90 graden. Het is mogelijk om intuïtief te ontdekken dat deze twee diagonalen in een kubus, die elk van de ene hoek naar de andere lopen en elkaar kruisen in het midden, elkaar ook haaks kunnen snijden; maar dat zou een vergissing zijn. Het bepalen van de hoek waaronder de twee diagonalen elkaar snijden, is iets gecompliceerder dan het op het eerste gezicht lijkt, maar het is een goede gewoonte om de principes van geometrie en trigonometrie te begrijpen.
Stap 1
Definieer de lengte van een rand als een eenheid. Elke rand van de kubus heeft per definitie een lengte die gelijk is aan vocht.
Stap 2
Gebruik de stelling van Pythagoras om de lengte van de diagonaal te bepalen die van de ene hoek naar de andere aan dezelfde kant gaat, die duidelijkheidshalve "kleine diagonaal" kan worden genoemd. Elke zijde van de gevormde rechthoekige driehoek is een eenheid, dus de diagonaal moet gelijk zijn aan √2.
Stap 3
Gebruik de stelling van Pythagoras om de lengte te bepalen van een diagonaal die van de ene hoek naar de andere loopt, aan de andere kant van de kubus, die "grote diagonaal" kan worden genoemd. Je hebt aan één zijde een rechthoekige driehoek die gelijk is aan één eenheid en een zijde die gelijk is aan de "kleinere diagonaal", wat overeenkomt met de vierkantswortel van twee eenheden. Het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van het kwadraat van de zijkanten, dus de hypotenusa moet √3 zijn. Elke diagonaal die van de ene hoek naar de andere aan de andere kant van de kubus loopt, is gelijk aan √3 eenheden.
Stap 4
Teken een rechthoek om twee grotere diagonalen over het midden van de kubus weer te geven en bedenk dat de hoek van hun snijpunt moet worden gevonden. Deze rechthoek moet 1 eenheid hoog en √ 2 eenheden breed zijn. De grotere diagonalen snijden elkaar in het midden van deze rechthoek en vormen twee verschillende soorten driehoeken. Een van hen heeft een zijde die gelijk is aan 1 eenheid en de andere twee zijn gelijk aan √3 / 2 (de helft van de lengte van een grotere diagonaal). De andere heeft twee zijden gelijk aan √3 / 2, maar je eerste is √2. Je hoeft maar één van de driehoeken te analyseren, de eerste te kiezen en de onbekende hoek te ontdekken.
Stap 5
Gebruik de trigonometrische formule "c² = a² + b² - 2ab x cos C" om de onbekende hoek van deze driehoek te vinden. "C = 1", en "b" en "a" zijn gelijk aan √3 / 2. Als we deze waarden in de vergelijking plaatsen, vinden we dat de cosinus van de hoek 1/3 is. De inverse van cosinus 1/3 komt overeen met een hoek van 70,5 graden.