Inhoud
Als hij een vierkant moest maken en twee diagonale lijnen tekende, zouden ze elkaar kruisen in het midden ervan en vier rechthoekige driehoeken vormen; de twee lijnen snijden elkaar in een hoek van 90 graden. Het is intuïtief mogelijk om te ontdekken dat deze twee diagonalen in een kubus, die elk van hoek naar hoek en elkaar kruisend in het midden reiken, elkaar ook haaks kunnen snijden; maar dat zou een vergissing zijn. Het bepalen van de hoek waaronder de twee diagonalen elkaar kruisen, is iets gecompliceerder dan het eerst lijkt, maar het is een goede gewoonte om de principes van geometrie en trigonometrie te begrijpen.
routebeschrijving
-
Stel de lengte van een rand in als een eenheid. Per definitie heeft elke rand op de kubus een lengte die gelijk is aan één vochtigheid.
-
Gebruik de stelling van Pythagoras om de lengte van de diagonaal te bepalen die van de ene hoek naar de andere loopt aan dezelfde kant, die een "kleine diagonaal" wordt genoemd, voor de duidelijkheid. Elke zijde van de gevormde rechter driehoek is een eenheid, dus de diagonaal moet gelijk zijn aan √2.
-
Gebruik de stelling van Pythagoras om de lengte te bepalen van een diagonaal die van de ene naar de andere hoek loopt, aan de andere kant van de kubus, die een "hoofddiagonaal" kan worden genoemd. Je hebt een rechte driehoek aan één zijde die overeenkomt met één eenheid en één zijde gelijk aan de "kleinere diagonaal", wat gelijk is aan de vierkantswortel van twee eenheden. Het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van het kwadraat van de zijkanten, dus de hypotenusa moet √3 zijn. Elke diagonaal die van de ene naar de andere hoek aan de andere kant van de kubus loopt, is gelijk aan √3 eenheden.
-
Teken een rechthoek om twee grotere diagonalen in het midden van de kubus weer te geven en bedenk dat de hoek van hun snijpunt moet worden ontdekt. Deze rechthoek moet 1 eenheidshoogte en √2 eenheden breed hebben. De grotere diagonalen kruisen elkaar in het midden van deze rechthoek en vormen twee verschillende soorten driehoeken. Een ervan heeft één zijde gelijk aan 1 eenheid en de andere twee gelijk aan √3 / 2 (de helft van de lengte van een grotere diagonaal). De andere heeft twee zijden gelijk aan √3 / 2, maar de eerste is √2. Het is alleen nodig om een van de driehoeken te analyseren, de eerste te kiezen en de onbekende hoek te ontdekken.
-
Gebruik de trigonometrische formule "c² = a² + b² - 2ab x cos C" om de onbekende hoek van deze driehoek te vinden. "C = 1", en "b" en "a" zijn gelijk aan √3 / 2. Door deze waarden in de vergelijking te plaatsen, ontdekt men dat de cosinus van de hoek 1/3 is. De inverse van cosinus 1/3 komt overeen met een hoek van 70,5 graden.